Curiosidades: El número de Fischer
Julio García
El conquistador del conquistador de Fischer
Artículo publicado en The Joys of Chess: Heroes, Battles and Brilliancies de Christian Hesse
A finales de la década de 1960, el psicólogo estadounidense S. Milgram llevó a cabo un experimento que desde entonces se ha hecho famoso. Investigaba el grado de vinculación en las redes sociales. Se eligió un total de 96 estadounidenses completamente al azar, y Milgram les dio a cada uno de ellos una carta y la descripción de una persona final (es decir, el nombre, dónde vivía, trabajo; específicamente, era un corredor de bolsa en Massachusetts). a quien iba dirigida la carta. Se pidió a cada uno de los participantes que enviaran la carta a un conocido suyo que creían que estaría más cerca de esa persona final. El conocido también recibió las mismas instrucciones. Milgram estableció que la longitud promedio de cada cadena de personas formada por conocidos por parejas era de 6 personas. Se le llamó el fenómeno del pequeño mundo y se acuñó el concepto familiar de los seis grados de separación.
En 2003, los sociólogos P. Dodds y D. Watts y sus colegas repitieron este experimento a nivel internacional. Lograron reclutar para ello a más de 60,000 participantes en 116 países. A cada participante se le dio el nombre de una persona final (una de un total de 18 personas en el mundo), pero esta vez, en lugar de cartas, la comunicación fue por correo electrónico a través de Internet.
Los resultados confirman esencialmente los hallazgos de Milgram. Parece ser el caso de que dos personas cualesquiera en el planeta pueden estar unidas por una cadena de solo unas pocas personas que se conocen entre sí. Esta es una indicación de la fuerza de la interrelación de la humanidad por el conocimiento persona a persona.
Matemáticamente hablando, estas redes de conocidos se pueden representar mediante gráficos. Al hacerlo, estamos tratando con una gran cantidad de nodos con enlaces entre algunos de ellos (llamados bordes o aristas). En nuestro caso específico, las personas son los nodos, y dos nodos dados están vinculados entre sí por un borde si las dos personas se conocen entre sí. Los nodos y los bordes juntos forman el gráfico, que en el ejemplo que estamos discutiendo llamaremos un gráfico de conocimiento. En él, la distancia más corta entre dos nodos elegidos al azar pasa en promedio a través de no más de aproximadamente 6 nodos.
Esta relación característicamente estrecha entre personas a través del vínculo de conocimiento mutuo puede, por analogía, ser investigada en cualquier comunidad que se desee con cualquier tipo de vínculo deseado, por ejemplo, computadora, energía, tráfico u otras redes.
En la comunidad científica internacional, por ejemplo, los gráficos de colaboración son bien conocidos, especialmente entre los matemáticos. Hay aproximadamente 2,1 millones de trabajos matemáticos publicados, escritos por un total de aproximadamente 337,000 autores diferentes. Esta información se guarda en la base de datos de Mathematical Reviews. El gráfico de colaboración consta de estos aproximadamente 337,000 autores como los nodos con aristas entre dos autores que tienen un trabajo publicado en común, con o sin otros coautores. Este gráfico también muestra el fenómeno del mundo pequeño, que es una indicación de la estrecha vinculación existente en la comunidad científica de matemáticos. Por ejemplo, no es más que un camino corto que lleva en el gráfico de colaboración de su autor a Albert Einstein, pasando por las etapas intermedias de Edward James Hannan, Christopher Heyde, Joel Cohen, Ronald Graham y Ernst Straus:
- Hesse, C. H. y Hannan, E.J. (1988): Tasas de convergencia para la función cuantil de un proceso lineal. Revista Australiana de Estadísticas, 30A, 283-295.
- Hannan, E. J. & Heyde, C. C. (1972): Sobre teoremas límite para funciones cuadráticas de series temporales discretas. Annals of Mathematical Statistics, 43, 205 8-2066.
- Heyde, C. C. y Cohen,]. E. (1985): Intervalos de confianza para proyecciones demográficas basadas en productos de matrices aleatorias. Biología teórica de poblaciones, 27, 1 20-153.
- Cohen, E., Chung, F.R.K. y Graham, R. L. (1988): Juegos de evasión de persecución en gráficos. Journal of Graph Theory, 12, 1 5 9-1 6 7.
- Graham, R. L., Erdos, P. Ruzsa, I. Z. y Straus, E. G. (1975): Sobre el factor primo de 2n, elija n. Matemáticas de la Computación, 29, 83-92.
- Straus, E. G. & Einstein, A. (1946): Una generalización de la teoría relativista de la gravitación. II. Annals of Mathematics, 47, 73 1-741.
Esto nos lleva al tema real de este capítulo. Es instructivo mirar a la comunidad internacional de ajedrecistas desde este ángulo. Lo que nos interesa no es la colaboración sino el aspecto competitivo. En términos específicos, podemos definir el gráfico de ajedrez de la siguiente manera: Los jugadores de ajedrez forman los nodos del gráfico y el nodo A está vinculado al nodo B si el jugador A ha derrotado al jugador B al menos una vez en una partida de torneo. A diferencia de los gráficos anteriores, los vínculos entre los nodos aquí van en una dirección específica (podemos describir esto como un gráfico dirigido): un vínculo de A a B no es lo mismo que el vínculo de B a A.
Estos gráficos de ajedrez nos permiten hacer preguntas fascinantes. Primero introduzcamos un nuevo número: el número de Fischer. En opinión de mucha gente, Bobby Fischer fue el mejor jugador de todos los tiempos. (Tal: Fischer es el genio más grande que jamás haya descendido del cielo del ajedrez a la tierra. Kasparov: Considero que Fischer es el mejor campeón del mundo). Una victoria sobre Fischer en un juego serio siempre fue un evento especial. Pocas personas alcanzaron este resultado. Pero el grupo de los que derrotaron a un jugador que había vencido a Fischer al menos una vez, es mayor. Como a su vez es el grupo formado por aquellos jugadores que habían conquistado a un jugador que había vencido a un jugador que había derrotado a Fischer. Basándonos en este principio de iteración, luego construimos un número de Fischer para cada jugador de ajedrez. Esto se define en los siguientes términos concretos:
- El propio Bobby Fischer tiene el Fischer número 0.
- Cualquiera que haya derrotado a Fischer al menos una vez obtiene el número 1 de Fischer.
- Cualquiera (aparte de Fischer) que venza al menos una vez a alguien con el número de Fischer 1 obtiene el número de Fischer 2, etc.
- Cualquiera que no pueda señalar una cadena de victorias que conduzca a Fischer tiene el número de Fischer ∞ (infinito).
Cuanto menor sea el número de Fischer, mayor será el rendimiento. Si su número de Fischer es n, entonces de cierta manera está a n-1 pasos de una posible victoria sobre el mejor jugador de todos los tiempos.
Por supuesto, el número de Fischer no está diseñado para ser una medida estricta del rendimiento del ajedrez de la misma manera que el coeficiente ELO, pero debe entenderse más bien como una contribución al folclore del ajedrez. Calcula tu número de Fischer trazando la línea ininterrumpida de victorias más corta posible entre tú y Fischer. Incluso si eres un jugador casual: ¿Quién es el jugador más fuerte al que has derrotado? Quizás ese jugador una vez venció a un jugador de club, y este último una vez derrotó a un campeón local, y el campeón local derrotó a un campeón regional, que venció a alguien que jugaba en la Bundesliga. Y el jugador de la Bundesliga venció a un maestro internacional, y este maestro internacional derrotó a un gran maestro y el gran maestro a su vez venció a Kortchnoi. Kortchnoi tiene el número de Fischer 1. Entonces su propio número de Fischer no sería mayor que 9.
Algunos otros números de Fischer que pueden derivarse fácilmente de algunas investigaciones en bases de datos son: Spassky = 1, Reshevsky = 1, Tal = 1, Geller = 1, Karpov = 2, Kasparov = 2, Deep Blue = 3.
El número de Fischer de su autor es de hecho 6 y se basa en la siguiente ruta a través del gráfico de ajedrez:
- Boris Spassky derrotó a Fischer (varias veces)
- Harald Lieb derrotó a Spassky (Munich 1979)
- Werner Nautsch derrotó a Lieb (Bundesliga 1981)
- Frank Beckmann derrotó a Nautsch (NRW-Liga 1992)
- Bernd Sakulski derrotó a Beckmann (Plettenberg 1986)
- Christian Hesse derrotó a Sakulski (Campeonato Attendorn 1980/81)
En este capítulo mi principal objetivo es introducir la idea de los números de Fischer y, si es posible, fomentar el estudio de sus características. Hay muchas cuestiones interesantes que los rodean. Me gustaría adelantar mi conjetura de que la gran mayoría de los jugadores de ajedrez, hasta los jugadores de club tienen números de Fischer finitos, es decir, pueden armar una sucesión de partidas ganadas que conducen a una victoria sobre Fischer. Se puede suponer además que el gráfico de todos los jugadores de ajedrez con números de Fischer finitos (el Fischergraph) exhibe la propiedad del mundo pequeño y que el número de Fischer promedio en este gráfico de Fischer no es mayor que quizás 6 o 7.
Además de la investigación de esta hipótesis, hay otro punto interesante: por supuesto, al igual que los números de Fischer, podemos introducir números de Kramnik y, de hecho, para cualquier jugador de ajedrez que desee (A) podemos definir los números A relevantes. ¿Cómo se comparan los números de Fischer con los de Kramnik, en cuanto a la media y las características de su distribución? ¿Está la comunidad del ajedrez en promedio más lejos de una victoria sobre Fischer que de una victoria sobre Kramnik? ¿Cuál es el número finito de Fischer o número de Kramnik más grande conocido que pertenece a un jugador titulado?
También son relevantes las preguntas sobre el grado de transitividad de la red de ajedrez. La transitividad describe la simetría de las relaciones de vecindad en conjuntos de 3 nodos. Si existe una relación de A en la dirección de B y de B hacia C, ¿cuál es entonces la probabilidad de una relación de A hacia C? Por supuesto, el ajedrez es un juego no transitivo: si el jugador A derrota al jugador B y el jugador B también derrota al jugador C, entonces no se puede deducir lógicamente que el jugador A necesariamente derrote al jugador C. Pero aún existe una cierta probabilidad de que esto suceda.
El fenómeno de la transitividad se cuantifica mediante el coeficiente de conglomerado: este último se define como la proporción de todos los nodos de tres (A, B, C) con relaciones de A a B y de B a C en los que también hay una relación de A a C. Para el gráfico de conocidos, el coeficiente de conglomerado describe la probabilidad de que dos conocidos de una tercera persona sean conocidos mutuos directos y, hasta cierto punto, es una medida de la cantidad de clique que se construye en la población. Un coeficiente de conglomerado de 1, por ejemplo, significaría que la población total consta de subgrupos separados de personas que no se superponen, de modo que todos los miembros de un subgrupo se conocen entre sí. En los gráficos de colaboración, el coeficiente de agrupación tiene un valor relativamente alto de 0.15.
El número B de A se puede considerar como la distancia d (A, B) del nodo A del nodo B. Se debe tener en cuenta que este no debe ser el mismo que el número A de B y, por lo tanto, no debe ser el mismo que el d (B , A). La distancia media en la red se puede definir como el promedio de las distancias finitas donde se toma el promedio de todas las distancias entre nodos en pares ordenados. Según D. Watts, los gráficos que muestran el fenómeno del mundo pequeño muestran tanto distancias medias pequeñas como coeficientes de agrupamiento grandes. ¿Qué tan grande es la distancia media en la gráfica de ajedrez? ¿Está esto también bajo el signo de los seis grados de separación? Estas son preguntas para las que aún no tenemos respuesta.
